Question

设f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

，则

lim

n→+∞

n2[f(n+1)-f(n)]=

1

4

．

Answer 1

分析：计算f（n+1）-f（n） 为

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

，代入要求的式子化简为

lim

n→+∞

（

1

4+ 6 n + 2 n2

），再利用数列极限的运算法则求得结果．

解答：解：由题意可得，f（n+1）-f（n）=（

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+2

）-（

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

，
则

lim

n→+∞

n2[f(n+1)-f(n)]=

lim

n→+∞

 n²（

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

）=

lim

n→+∞

 （n2•

1

(2n+1)(2n+2)

 ）=

lim

n→+∞

（

n2

4n2+6n+2

）=

lim

n→+∞

 （

1

4+ 6 n + 2 n2

）=

1

4+0+0

=

1

4

，
故答案为

1

4

．

点评：本题主要考查数列极限的运算法则的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．