Question

设点F(0，

3

2

)，动圆P经过点F且和直线y=-

3

2

相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程；
（2）过点F作互相垂直的直线l₁，l₂，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ABCD面积的最小值．
（3）分别在A、B两点作曲线W的切线，这两条切线的交点记为Q．求证：QA⊥QB，且点Q在某一定直线上．

Answer 1

分析：（1）过点P作PN垂直于直线y=-

3

2

于点N，根据动圆P经过点F且和直线y=-

3

2

相切，可得|PF|=|PN|，从而可得动点P的轨迹是以为焦点，直线y=-

3

2

为准线的抛物线，故可求曲线W的方程；
（2）设直线l₁，l₂的方程代入x²=6y，利用韦达定理，计算弦长，表示出四边形ABCD的面积，利用基本不等式即可求得四边形ACBD面积的最小值；
（3）证明QA⊥QB，设出QA、QB的方程，联立，求得交点Q的坐标，即可得到结论．

解答：（1）解：过点P作PN垂直于直线y=-

3

2

于点N，依题意
∵动圆P经过点F且和直线y=-

3

2

相切，∴|PF|=|PN|
∴动点P的轨迹是以为焦点，直线y=-

3

2

为准线的抛物线．…（1分）
即曲线W的方程是x²=6y…（2分）
（2）解：依题意，直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，设直线l₁的方程为y=kx+

3

2

，
由l₁⊥l₂得l₂的方程为=-

1

k

x+

3

2

，
将y=kx+

3

2

代入x²=6y，化简得x²-6kx-9=0…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=6(k2+1)
同理可得|CD|=6(

1

k2

+1)…（5分）
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

|AB|•|CD|=18(k2+1)(

1

k2+1

)=18(k2+

1

k2

+2)≥72
当且仅当k2=

1

k2

，即k=±1时，S_min=72
故四边形ACBD面积的最小值是72．…（7分）
（3）证明：由（1）知W的方程可化为y=

1

6

x2，∴y′=

1

3

x
∵QA的斜率kQA=

1

3

x1，kQB=

1

3

x2
∴kQA•kQB=

1

3

x1•

1

3

x2=

1

9

x1•x2=

1

9

•(-9)=-1
∴QA⊥QB…（9分）
QA的方程为y-y1=

1

3

x1(x-x1)，∴y=

1

3

x1x-

1

6

x

2 1

QB的方程为y-y2=

1

3

x2(x-x2)，∴y=

1

3

x2x-

1

6

x

2 2

解方程组

y= 1 3 x1x- 1 6 x 2 1 y= 1 3 x2x- 1 6 x 2 2

得交点Q(

x1+x2

2

，-

3

2

)，即Q（2k，-

3

2

）…（11分）
当k取任何非零实数时，点Q总在定直线y=-

3

2

上…（12分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查四边形面积的计算，考查直线的方程，直线与抛物线方程联立是关键．