Question

已知f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设x∈[-e，0），利用函数为奇函数，得到f（-x）=-f（x），将f（-x）的值代入，求出f（x）在x∈[-e，0）的解析式．
（2）求出f′（x）=0的根，讨论根不在定义域内时，函数在定义域上递增，求出最小值，令最小值等于4，求a；根在定义域内，列出x，f′（x），f（x）d的变化情况表，求出函数的最小值，列出方程求a值．

解答：解：（1）设x=[-e，0），则-x∈（0，e]∴f（-x）=-ax+2ln（-x）．∵f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]，上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故函数f（x）的解析式为：f(x)=

ax-2ln(-x)x∈[-e，0) ax+2lnx，x∈(0，e]

（2）假设存在实数a，使得当x∈（-e，0]时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值是3．
∵f′(x)=a-

2

x

=

ax-2

x

．
①当

2

a

≤-e，即-

2

e

≤a＜0时，
由于x∈[-e，0），则f'（x）≥0．故函数f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函数．
∴所以f（x）_min=f（-e）=-ae-2=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

（舍去）
②当

2

a

＞-e，即a＜-

2

e

时，则

x	(-e， 2 a )	( 2 a ，0)
f'（x）	-	+
f（x）	↘	↗

∴f(x)min=f(

2

a

)=2-2ln(-

2

a

)=4，解得a=-2e
综上所知，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）最小值4．

点评：解决是否存在这种探索性的题时，一般是假设存在，然后去求，求出则存在，求不出就不存在．