Question

【题目】已知函数，其中.

（1）若在上存在极值点，求a的取值范围；

（2）设，，若存在最大值，记为，则当时，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值为．

【解析】

（1）求出函数的导数，将题意转换为在上有解，由在上递增，得，，求出的范围即可；

（2）求出函数的导数，得到，求出（a），根据函数的单调性求出（a）的最大值即可．

解：（1），，

由题意得，在上有根（不为重根），

即在上有解，

由在上递增，得，，

检验，时，在上存在极值点，

，；

（2）中，

若，即在上满足，

在上递减， ，

不存在最大值，则；

方程有2个不相等的正实数根，

令其为，，且不妨设，

则，

在递减，在递增，在递减，

对任意，有，

对任意，有，

，

（a），

将，代入上式，消去，得：

（a），

，，，

由在递增，得，，

设，，，

，，，

，即在，递增，

（e），

（a）存在最大值为．