Question

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，

OP

|OM|

=e，e为椭圆C的离心率，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

分析：（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，分析可得这个顶点是长轴的端点，则有a+c=7，a-c=1；解可得ac的值，进而可得b的值，即可得答案；
（2）设M（x，y），P（x，y₁ ），根据椭圆的方程为

x2

16

+

y2

7

=1且P在椭圆上，可得e的值与y₁²=

7(16-x2)

16

①；根据题意，有

x2+ y   2 1

x2+y2

=e²=

9

16

②；联立①②化简可得答案．

解答：解：（1）根据题意，椭圆的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1，
则这个顶点不会是短轴的端点，而是长轴的端点，
则有a+c=7，a-c=1；
解可得a=4，c=3；
则b=

7

；
故椭圆的方程为

x2

16

+

y2

7

=1；
（2）设M（x，y），P（x，y₁ ），
椭圆的方程为

x2

16

+

y2

7

=1中，e=

c

a

=

3

4

；
又由椭圆方程为

x2

16

+

y2

7

=1，且P在椭圆上，即y₁²=

7(16-x2)

16

①；
根据题意得

x2+ y   2 1

x2+y2

=e²=

9

16

②；
①②联立化简可得，y²=

112

9

；
即y=±

4 7

3

，（-4≤x≤4）
其轨迹是两条平行于x轴的线段．

点评：本题考查椭圆的性质与轨迹的求法，实际是椭圆的综合题目，注意轨迹方程的求法步骤，尤其是轨迹与轨迹方程的区别与联系．