Question

图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（Ⅰ）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内用黑色中性笔画出其正视图和侧视图（注意虚线和实线的差别）；
（Ⅱ）求四棱锥B-CEPD的体积V_E-CEFD；
（Ⅲ）求平面PEB和DCB所夹锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）按照三视图所在的平面两两垂直，看不见的线用虚线，看得见的用实线画出．
（2）由PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，得到平面PDCE⊥平面ABCD，因为BC⊥CD所以BC⊥平面PDCE，从而有BC为高，然后求得底的面积，最后由棱锥体积公式求解．
（3）平面PEB和DCB所夹锐二面角的余弦值即

S△BCD

S△PEB

，分别求出两个三角形的面积，代入可得答案．

解答：解：（1）该组合体的主视图和侧视图如图示：

（2）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵S梯形PDCE=

1

2

（PD+EC）•DC=

1

2

×3×2=3
∴四棱锥B-CEPD的体积VB-CEPD=

1

3

S梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2
（3）设所求锐二面角为θ，
∵S_△BCD=

1

2

×2×2=2
在△PEB中
PE=BE=

5

，BD=2

2

，则BD上的高为

3

S_△PEB=

1

2

×

3

×2

2

=

6

则平面PEB和DCB所夹锐二面角的余弦值
cosθ=

S△BCD

S△PEB

=

6

3

点评：本题主要考查空间几何体的三视图，体积和线线，线面，面面平行关系的转化，二面角的平面角，考查很全面，灵活，属中档题．