Question

已知双曲线x²-2y²=2的左、右两个焦点为F₁，F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设D（，0），过F₂且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，若DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）因为动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，利用椭圆定义，可知动点P的轨迹为椭圆，且该椭圆以F₁、F₂为焦点，长轴为4，从而可求椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，利用向量知识，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）双曲线的方程可化为，则|F₁F₂|=2  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2 
∴P点的轨迹E是以F₁、F₂为焦点，长轴为4的椭圆         
由a=2，c=，∴b=1
∴所求方程为；
（Ⅱ）设l的方程为，则k≠0
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-k²x+12k²-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-）=
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴（）⊥
∴（）•=0
∴--=0
∴
∴l的方程为．
点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．