Question

已知奇函数，（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）当n≥4，且n∈N^*时，试比较a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}与2ⁿ-2的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，
∴恒成立，b²=1，b=±1经检验b=1
（Ⅱ）由x∈[2，4]时，恒成立，
①当a＞1时
∴对x∈[2，4]恒成立
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
则g（x）=-x³+7x²+x-7
∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0
∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15
∴0＜m＜15
②当0＜a＜1时
由x∈[2，4]时，恒成立，
∴对x∈[2，4]恒成立
∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]
由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_max=g（4）=45
∴m＞45
综上，当a＞1时，0＜m＜15；
当0＜a＜1时，m＞45
（Ⅲ）∵=
∴
当n=2时，，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2
当n=3时，，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2
当n≥4时，2ⁿ-2
下面证明：当n≥4时，2ⁿ-2
当n≥4时，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²++C_n^n-1
∴当n≥4时，2ⁿ-2
n≥4时，，即2ⁿ-2
∴当n≥4时，2ⁿ-2．
分析：（I）根据奇函数的定义g（x）=-g（-x）列出关于b的等式，由函数的奇偶性定义求出b的值；
（II）分当a＞1和当0＜a＜1两种情况讨论，利用分离参数法，结合导数在最大值、最小值问题中的应用来解m的取值范围．
（Ⅲ）先得出：，再分情况讨论：当n=2时，，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}＞2ⁿ-2；当n=3时，，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）++f（n）}=2ⁿ-2；当n≥4时，2ⁿ-2进行证明即可．
点评：本题是函数性质的综合题，本小题主要考查函数奇偶性的性质、函数奇偶性的应用、不等式的解法、导数在最大值、最小值问题中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．