Question

如图，在△ABO中，D、C分别在AO，BO边上，AC，BD交于点M，且AM•MC=BM•MD．
（I）证明：∠1=∠2；
（II）证明：A、B、C、D四点共圆．

Answer 1

分析：（I）由已知中AM•MC=BM•MD，根据相似三角形判定定理可得△AMD∽△BMC，进而可由对应角相等得到答案．
（II）由（I）中结论，类比可得，∠DAC=∠DBC，同理可证：∠BAC=∠BDC，∠ACD=∠ABD，进而根据四边形内角和为360°，得到四边形对解互补，进而得到A、B、C、D四点共圆．

解答：证明：（I）∵AM•MC=BM•MD．
∴

AM

BM

=

MD

MC

，又∵∠AMD=∠BMC
∴△AMD∽△BMC
∴∠1=∠2；
（II）由（I）知，∠DAC=∠DBC
同理可证：∠BAC=∠BDC，∠ACD=∠ABD
∵∠1+∠2+∠DAC+∠DBC+∠BAC+∠BDC+∠ACD+∠ABD=360°
∴∠2+∠DAC+∠BAC+∠ACD=180°
∴A、B、C、D四点共圆

点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的判定，熟练掌握相关定理是解答的关键．