Question

正四棱锥P—ABCD中，底面边长为6，F、E分别在PA、PD上，且PA=3PF，PD=3PE，截面BCEF⊥侧面PAD,

(1)求侧棱与底面所成的角(结果用反三角表示)；

(2)求四棱锥A—BCEF的体积.

Answer 1

解：(1)取AD、BC、AC中点M、N、O，连结PN、GN、PO.?

以O为坐标原点，直线ON、OP分别为y轴、z轴，建立空间坐标系O—xyz.如图，设P(0,0,t)(t＞0)，则A(3,-3,0),D(-3,-3,0),B(3,3,0),C(-3,3,0),F(1,-1,t),?

∴=(3,-3,-t),=(-6,0,0),=(2,4,-t),=(-6,0,0).?

设平面PAD的法向量m=(a,b,1),平面BCEF的法向量n=(c,d,1),?

由m=0,m=0,得a=0,b=-.?

∴m=(0,-,1).?

由n=0,n=0,得c=0,d=.?

∴n=(0, ,1).?

又平面PAD⊥平面BCEF，?

∴mn=0,则t=3.∴P(0,0,3).?

∴=(0,0,3),=(3,-3,-3).?

∴cos〈,〉==-.?

∴侧棱PA与底面ABCD成45°.?

(2)n=(0, ,1),cos〈,n〉==，?

∴h=||cos〈,n〉=2.又S_BCEF=8,?

∴V_A—BCEF?=S_BCEF?h=16.

点评：在正棱锥中常常应用“高、侧棱、斜高、底面线段”围成的直角三角形和等腰三角形来分析线面关系.本题考查平面与平面垂直的性质定理和体积公式等.