Question

已知A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k₁，k₂（k₁k₂≠0），若椭圆的离心率为

3

2

，则|k₁|+|k₂|的最小值为（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k₁|+|k₂|的最小值为1运用基本不等式的知识可得到当x₀=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，进而可求得离心率的值．

解答：解：设M（t，s），N（t，-s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（-a，0），B（a，0），
k₁=

s

t+a

，k₂=-

s

t-a

|k₁|+|k₂|=|

s

t+a

|+|-

s

t-a

|≥2

| s t+a || s a-t |

=2

s2 a2-t2

当且仅当

s

t+a

=-

s

t-a

，即t=0时等号成立．
因为A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，-s），即s=b
∴|k₁|+|k₂|的最小值为

2b

a

，
∵椭圆的离心率为

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，
∴a=2b
∴|k₁|+|k₂|的最小值为1
故选A．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用．圆锥曲线是高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习．