Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞o)的左焦点为F（-

2

，0），离心率e=

2

2

，M、N是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：

OP

=

OM

+2

ON

，直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

，问：是否存在定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？，若存在，求出F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．

Answer 1

（Ⅰ）由题设可知：

c= 2 c a = 2 2

，∴a=2，c=

2

…2分
∴b²=a²-c²=2…3分
∴椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

2

=1…4分
（Ⅱ）设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

OP

=

OM

+2

ON

可得：

xP=x1+2x2 yP=y1+2y2

①…5分
由直线OM与ON的斜率之积为-

1

2

可得：

y1y2

x1x2

=-

1

2

，即x₁x₂+2y₁y₂=0②…6分
由①②可得：x_P²+2y_P²=（x₁²+2y₁²）+（x₂²+2y₂²）
∵M、N是椭圆上的点，∴x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4
∴x_P²+2y_P²=8，即

x 2P

8

+

y 2P

4

=1…..8分
由椭圆定义可知存在两个定点F₁（-2，0），F₂（2，0），使得动点P到两定点距离和为定值4

2

；….9分；
（Ⅲ）证明：设M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0，x₁≠x₂，A（x₁，0），N（-x₁，-y₁）…..10分
由题设可知l_AB斜率存在且满足k_NA=k_NB，∴

y1

2x1

=

y2+y1

x2+x1

…．③
k_MN•k_MB+1=

y1

x1

•

y2-y1

x2-x1

+1④…12分
将③代入④可得：k_MN•k_MB+1=

2(y2+y1)

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

( x 22 +2 y 22 )-( x 21 +2 y 21 )

x 22 - x 21

⑤….13分
∵点M，B在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上，∴k_MN•k_MB+1=

( x 22 +2 y 22 )-( x 21 +2 y 21 )

x 22 - x 21

=0
∴k_MN•k_MB+1=0
∴k_MN•k_MB=-1
∴MN⊥MB…14分．