Question

已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y²=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是△OAB的外接圆(点C为圆心)．

(1)求圆C的方程；

(2)设圆M的方程为(x)²+(y)²=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值．

Answer 1

答案：(1)由于O为原点，三角形OAB是正三角形，A，B两点在抛物线上，故A，B两点关于x轴对称，可知直线OA的倾角为，OA方程是y=x，代入y²=2x，解得A点坐标是A(6，)或A(6，)同样可求得B点的坐标是B(6，)或8(6，)．

设圆心C的坐标为(r，O)，则r=×6=4，

所以圆C的方程为：(x-4)⁴+y²=16．

(2)设∠ECF=2α，则·cos2α=16cos2α=32cos²α-16．

在Rt△PCE中，cosα=，M点的坐标是，|MC|=7

|PC|≤|MC|+1=7+1=8．

|PC|≥|MC|-1=7-1=6．

所以≤cosα≤，由此可得-8≤≤．

则的最大值为，最小值为-8．