Question

对任意实数x规定f（x）取5-x，x+2，

1

2

（5-x）三个值中的最小值，则f（x）（　　）

• A．有最大值

  7

  3

  ，最小值0
• B．有最大值

  7

  3

  ，无最小值
• C．有最大值0，无最小值
• D．无最大值，无最小值

Answer 1

分析：根据题意得到函数f（x）分段函数的表达式，然后在各部分分别研究函数的单调性，从而得到各部分的最大值与最小值的情况，最后加以综合可得答案．

解答：解：根据题意，可得f（x）=

x+2        (x≤ 1 3 ) 1 2 (5-x)     ( 1 3 ＜x＜5) 5-x           (x≥5)

当x≤

1

3

时，函数解析式为f（x）=x+2，在（-∞，

1

3

]上是增函数，
函数的最大值为f（

1

3

）=

7

3

，无最小值；
当

1

3

＜x＜5时，函数解析式为f（x）=

1

2

（5-x），在（

1

3

，5）上是减函数，
函数的最大值小于

7

3

，最小值大于0；
当x≥5时，函数解析式为f（x）=5-x，在[5，+∞）上是减函数，
函数的最大值为f（5）=0，无最小值．
综上所述，可得函数f（x）有最大值

7

3

，无最小值．
故选：B．

点评：本题给出分段函数模型，求函数的最大值和最小值．着重考查了基本初等函数的单调性和函数最值的求法等知识，属于中档题．