Question

已知函数，(x＞0)．

(Ⅰ)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求证：ab＞1；

(Ⅱ)是否存在实数a，b(a＜b)，使得函数y＝f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

(Ⅲ)若存在实数a，b(a＜b)，使得函数y＝f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]

(m≠0)，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵x＞0，∴ 　　∴f(x)在(0，1)上为减函数，在上是增函数． 　　由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)， 　　可得0＜a＜1＜b和． 　　即． 　　∴2ab＝a＋b＞．　　　　　　　　　　　　　　3分 　　故，即ab＞1．　　　　　　　　　　　　　　4分 　　(Ⅱ)不存在满足条件的实数a，b． 　　若存在满足条件的实数a，b，使得函数y＝的定义域、值域都是[a，b]，则a＞0． 　　 　　当时，在(0，1)上为减函数． 　　故即 　　解得a＝b． 　　故此时不存在适合条件的实数a，b．　　　　　　　　　　　　6分 　　当时，在上是增函数． 　　故即 　　此时a，b是方程的根，此方程无实根． 　　故此时不存在适合条件的实数a，b．　　　　　　　　　　　　8分 　　当，时， 　　由于，而， 　　故此时不存在适合条件的实数a，b． 　　综上可知，不存在适合条件的实数a，b．　　　　　　　　　　　　10分 　　(Ⅲ)若存在实数a，b(a＜b)，使得函数y＝f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]． 　　则a＞0，m＞0． 　　当时，由于f(x)在(0，1)上是减函数，故．此时刻得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在． 　　当或时，由(Ⅱ)知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在． 　　故只有． 　　∵在上是增函数， 　　∴即 　　b是方程的两个根． 　　即关于x的方程有两个大于1的实根．　　　　　　　　12分 　　设这两个根为，． 　　则＋＝，·＝． 　　∴即 　　解得． 　　故m的取值范围是．　　　　　　　　　　　　　　　　14分