Question

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a_2n-1=2n，S_n为数列{}的前n项和，设f（n）=S_2n-S_n，
（1）比较f（n）与f（n+1）的大小；
（2）若g（x）=log₂x-12f（n）＜0，在x∈[a，b]且对任意n＞1，n∈N^*恒成立，求实数a，b满足的条件．

Answer 1

解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，且a₁+a_2n-1=2n，令n=1可得 a₁ =1，再令n=2可得a₂=2，故 a_n=n．
f（n+1）-f（n）=S_2（n+1）-S_n+1-[S_2n-S_n]=S_2（n+1）-S_2n-（S_n+1-S_n）
=a_2n+2+a_2n+1-a_n+1=-=＞0，
∴f（n+1）＞f（n）．（6分）
（2）由上知：{ f（n）}为递增数列，必需 log₂x＜12 f（2）成立．（8分）
∵f（2）=S₄-S₂=，∴log₂x＜7，
∴0＜x＜128，∴0＜a＜b＜128．
分析：（1）由条件求出a₁ =1，a₂=2，可得a_n=n．化简f（n+1）-f（n）=＞0，可得f（n+1）＞f（n）．
（2）由上知：{ f（n）}为递增数列，必需 log₂x＜12 f（2）成立，求出f（2）=，可得log₂x＜7，求得0＜x＜128，
由此确定实数a，b满足的条件．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，数列与函数的综合，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．