Question

设函数f（x）=-4x+b，且不等式|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}．
（Ⅰ）求b，k的值；
（Ⅱ）证明：函数φ(x)=

4x

f(x)

的图象关于点P(

1

2

，-1)对称．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把绝对值不等式进行等价转化，求出解集，将求出的解集和已知的解集作对比，列方程组解出b，k的值．
（Ⅱ）在φ（x）图象上任取一点N（x_°，y_°），求出N（x_°，y_°）关于P(

1

2

，-1)的对称点N′的坐标，证明N′的坐标仍然满足函数φ（x）的解析式，即可证得结论成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-4x+b，∴|f（x）|＜k可化为|-4x+b|＜k，∴

b-k

4

＜x＜

b+k

4

，
又|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}，∴

b-k 4 =-1 b+k 4 =2.

解得

b=2 k=6.

（6分）

证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-4x+2，∴φ(x)=

4x

f(x)

=

4x

-4x+2

=

2x

-2x+1

，
在φ（x）图象上任取一点N（x_°，y_°），∴y°=

2x°

-2x°+1

．
设N（x_°，y_°）关于P(

1

2

，-1)的对称点为N′，则N′（1-x_°，-2-y_°）．
∵φ(1-x°)=

2(1-x°)

-2(1-x°)+1

=

2(1-x°)

2x°-1

，
又-2-y°=-2-

2x°

-2x°+1

=

4x°-2-2x°

-2x°+1

=

2x°-2

1-2x°

=φ(1-x°)，

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=4
∴N′（1-x_°，-2-y_°）在函数φ（x）图象上，
∴函数φ(x)=

4x

f(x)

的图象关于点P(

1

2

，-1)对称．（13分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，证明函数图象关于某个点对称的方法：在函数的图象上任取一点，证明此点关于某点的对称点还在此函数的图象上．