Question

【题目】设函数f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对任意a∈（3，4）及任意x1 ， x2∈[1，2]，恒有 m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为（0，+∞）

当a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f′（x）=

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；

令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；

∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；

（2）解：f′（x）=

当 ，即a=2时， ，f（x）在（0，+∞）上是减函数；

当 ，即a＞2时，令f′（x）＜0，得 或x＞1；令f′（x）＞0，得

当 ，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞ ；令f′（x）＞0，得

综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；

当a＞2时，f（x）在（0， ）和（1，+∞）上单调递减，在（ ，1）上单调递增；

当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（ ，+∞）上单调递减，在（1， ）上单调递增；

（3）解：由（2）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减

∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值

∴

∴对任意a∈（3，4），恒有

∴m＞

构造函数 ，则

∵a∈（3，4），∴

∴函数 在（3，4）上单调增

∴g（a）∈（0， ）

∴m≥

【解析】（1）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；（2）求导函数f′（x）= ，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）由（2）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减，从而可得 对任意a∈（3，4），恒有 ，等价于m＞ ，求出右边函数的值域，即可求得结论．