Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求二面角O-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点，通过正三角形，以及计算证明AO⊥CO，从而证明AO⊥平面BCD；
（2）利用三面角公式直接求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦，然后求出角的大小；
（3）利用射影面的面积与被射影面的面积的比，求二面角O-AC-D的大小．

解答：解：（1）设O是等腰直角三角形ABD斜边BD的中点，
所以有AO⊥BD，可求得AO=1，CO=

3

，又有AC=2
所以∠AEC=90°，即AO⊥CO
BD，CO是平面BCD内两条相交直线，故有AO⊥平面BCD．

（2）由（1）可知BD⊥面AOC，
所以面BCD⊥面AOC，AO=1，CO=

3

，AC=2
A点在BCD面内的投影为O，
cos＜AB，CD＞=cos∠ABD•cos∠BDC=

2

2

×

1

2

=

2

4

异面直线AB与CD所成角的大小：arccos

2

4

．

（3）三角形AOC的面积为：

1

2

×AO×OC=

3

4

；三角形ADC的面积为：

1

2

×

2

×

22-( 2 2 )2

=

7

2

；
所以二面角O-AC-D的大小余弦为：

3 4

7 2

=

21

14

二面角O-AC-D的大小：arccos

21

14

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、直线与平面所成的角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．