Question

【题目】已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），| ﹣ |= ．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若﹣ ＜β＜0＜α＜ ，且sinβ=﹣ ，求sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），∴| |=| |=1，

∴| ﹣ |2= =1+1﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2﹣2cos（α﹣β），

又∵| ﹣ |= ，

∴| ﹣ |2=2﹣2cos（α﹣β）= ，

∴cos（α﹣β）= ；

（2）解：∵﹣ ＜β＜0＜α＜ ，∴0＜α﹣β＜π，

由cos（α﹣β）= 可得sin（α﹣β）= ，由sinβ=﹣ 可得cosβ= ，

∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ

= =

【解析】（1）由模长公式和三角函数公式可得| ﹣ |2=2﹣2co（α﹣β）= ，变形可得；（2）结合角的范围分别可得sin（α﹣β）= 和cosβ= ，而sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ，代入化简可得．
【考点精析】关于本题考查的两角和与差的余弦公式，需要了解两角和与差的余弦公式：才能得出正确答案．