Question

写出下列数列的一个通项公式:

(1)1，3，7，15，…；

(2)，，3，，…；

(3)－2，，－，，…；

(4)0.9,0.99,0.999,0.9999,…；

(5)1，0，1，0，1，0，….

Answer 1

解:(1)注意和2ⁿ进行比较，可得a_n=2ⁿ－1.

(2)将数列的项都化成分母是3的分式得，，，，….

经观察可得a_n=.

(3)将数列的项变为－，，－，，….

注意观察符号是正负交替出现，分母是一组平方数，分子比分母大1，因此a_n=        (－1)ⁿ.

(4)将数列中的项和1进行比较就会发现，a₁=0.9=1－,a₂=0.99=1－=1－,?a₃=0.999=1－=1－,…,因此,a_n=1－.

(5)数列中奇数项为1，偶数项为0，注意1+(－1)ⁿ⁺¹的值为2和0，

故有a_n=［1+(－1)ⁿ⁺¹］/2.

点评:求数列的通项公式时，常用的方法有:观察法，待定系数法，特殊数列法及归纳法等.常用的手段有:通过(－1)ⁿ或(－1)ⁿ⁺¹来调整正负号；各项都化成分数、平方、指数、对数等同类式子，再寻找规律；借助于一些特殊数列，如:{}，{nⁿ},{aⁿ},{(－1)ⁿ}来找通项；有些数列的通项公式还可用分段函数来表示.但我们要注意，由有限项归纳出的通项公式往往是不唯一的.