Question

【题目】已知函数， .

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）

【解析】试题分析：（1）由可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程；

（2）由，可得，所以在区间上单调递增，从而可得最值；

（3）当时， .设， ，分析可知在区间上单调递减，且， ，所以存在唯一的，使，即，结合函数单调性可得解.

试题解析：

（1）当时， ，

所以， .

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）当时， ，

所以．

当时， ， ，

所以.

所以在区间上单调递增．

因此在区间上的最大值为，最小值为.

（3）当时， .

设， ，

因为， ,所以.

所以在区间上单调递减．

因为， ，

所以存在唯一的，使，即.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．

因为， ，又因为方程在区间上有唯一解，

所以.