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设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x∈[-2,0)时,f(x)=-1,若在区间(-2,6)内的关于x的方程f(x)-logga(x+2)=0(a>0且a≠1)恰有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.(,1)
B.(1,4)
C.(1,8)
D.(8,+∞)
【答案】分析:在同一直角坐标系中作出f(x)与h(x)=loga(x+2)在区间(-2,6)内的图象,结合题意可得到关于a的关系式,从而得到答案.
解答:解:∵当x∈[-2,0)时,f(x)=-1,
∴当x∈(0,2]时,-x∈[-2,0),
∴f(-x)=-1=-1,又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)=-1(0<x≤2),又f(2+x)=f(2-x),
∴f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(4+x)=f(-x)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数,
∵在区间(-2,6)内的关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>0且a≠1)恰有4个不同的实数根,
令h(x)=loga(x+2),即f(x)=h(x)=loga(x+2)在区间(-2,6)内有有4个交点,
在同一直角坐标系中作出f(x)与h(x)=loga(x+2)在区间(-2,6)内的图象,
∴0<loga(6+2)<1,
∴a>8.
故选D.
点评:本题考查根的存在性及根的个数判断,求得f(x)的解析式,作出f(x)与h(x)=loga(x+2)在区间(-2,6)内的图象是关键,考查作图能力与数形结合的思想,属于难题.
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