Question

【题目】数列分别满足：，其中，其中，设数列前n项和分别为.

（1）若数列为递增数列，求数列的通项公式；

（2）若数列满足：存在唯一的正整数k（），使得，则称为“k坠点数列”

（Ⅰ）若数列为“6坠点数列"，求；

（Ⅱ）若数列为“5坠点数列”，是否存在“p坠点数列”，使得，若存在，求正整数m的最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（1）由两数列为递增数列，结合递推式可得，，，，由此可得数列为等差数列，数列从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案；

（2）（Ⅰ）根据题目条件判断：数列必为1，3，5，7，5，7，9，11，，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，求解即可．

（Ⅱ）运用数列为“坠点数列”且，综合判断数列中有且只有两个负项．假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，可得必为偶数．再讨论，，，证明，求出数列即可．

解：（1）数列，都为递增数列，

由递推式可得，，，，

则数列为等差数列，数列从第二项起构成等比数列．

，；

（2）（Ⅰ）数列满足：存在唯一的正整数，使得，且，

数列必为1，3，5，7，5，7，9，11，，

即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，

故；

（Ⅱ），即，

，

而数列为“坠点数列”且，

数列中有且只有两个负项．

假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，

而中各项均为奇数，

必为偶数．

由，

当时，，

当时，，故不存在正整数使得；

当时，，

显然不存在正整数使得；

当时，．

当，才存在正整数使得；

即．

当时，，

构造：为1，3，1，3，5，7，9，，为，2，4，8，，32，64，

此时，．

，对应的，．