Question

【题目】已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于，两点，关于轴的对称点为.

（1）求抛物线的方程；

（2）试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.

（2）解法一：设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系，设直线的方程为与抛物线联立，得到横坐标关系,从而得到的关系，找出定点.

解法二：直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，设直线的方程为，与抛物线联立，得到纵坐标关系，从而可以解出，得到定点.

（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为，

所以，所以抛物线的方程为；

（2）【解法一】因为点与点关于轴对称

所以设，，，

设直线的方程为，

代入得：，所以，

设直线的方程为，

代入得：，所以，

因为，，所以，即，

所以直线的方程为，必过定点.

【解法二】

设，，，

因为点与点关于轴对称，所以，

设直线的方程为，

代入得：，所以，

设直线的方程为，

代入得：，所以，

因为，所以，即，

所以直线的方程为，必过定点.