Question

【题目】设f（x）＝etx（t＞0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y＝f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1）），则△PRS的面积的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

计算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面积为S，导数S′，由S′＝0得t＝1，根据函数的单调性得到最值.

∵PQ∥y轴，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），

又f（x）＝etx（t＞0）的导数f′（x）＝tetx，∴过Q的切线斜率k＝t，

设R（r，0），则k，∴r＝t，

即R（t，0），PR＝t﹣（t），

又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面积为S，

导数S′，由S′＝0得t＝1，

当t＞1时，S′＞0，当0＜t＜1时，S′＜0，∴t＝1为极小值点，也为最小值点，

∴△PRS的面积的最小值为．

故答案为：．