Question

已知函数f(x)=

1+lnx

x

（1）若函数f（x）在区间(

a

2

，a+

1

2

)上存在极值，其中a＞0，求实数a的取值范围．
（2）设g(x)=xf(x)+bx-1+ln(2-x

)

(b＞0)，若g（x）在（0，1]上的最大值为

1

2

，求实数b的值．

Answer 1

分析：（1）利用导数求出函数f（x）的极值点，设为x₀，则x0∈(

a

2

，a+

1

2

)，由此可得a的范围；
（2）写出g（x）的表达式，利用导数求出g（x）在（0，1]上的最大值，使其等于

1

2

，即可求得b值；

解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)=-

lnx

x2

，
令f′(x)=-

lnx

x2

=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x=1处取极大值，
因为f（x）在区间(

a

2

，a+

1

2

)上存在极值，所以

a

2

＜1＜a+

1

2

，解得

1

2

＜a＜2，
所以实数a的取值范围是（

1

2

，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，当x∈（0，1]时，g′（x）=b+

2

x(2-x)

＞0，
所以g（x）在（0，1]上单调递增，
故g（x）在（0，1]上的最大值为g（1）=b，
因此b=

1

2

．

点评：本题考查应用导数研究函数的极值及求函数在闭区间上的最值问题，准确求导，熟知导数与函数极值、最值的关系是解决问题的基础．