Question

（2008•宝坻区一模）某单位建造一间地面面积为12m²的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m²，房屋侧面的造价为150元/m²，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．
（1）把房屋总价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？

Answer 1

分析：（1）分别算出房子的两个侧面积乘以150再加上房子的正面面积乘以400再加上屋顶和地面的造价即为总造价；
（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式或导数即可求出函数的最小值，进而得到答案．

解答：解：（1）由题意可得，y=3(2x×150+

12

x

×400)+5800=900(x+

16

x

)+5800(0＜x≤a)…（5分）
（2）y=900(x+

16

x

)+5800≥900×2

x× 16 x

+5800=13000
当且仅当x=

16

x

即x=4时取等号…（7分）
若a≥4，x=4时，有最小值13000．…（8分）
若a＜4，任取x₁，x₂∈（0，a]且x₁＜x₂y1-y2=900(x1+

16

x1

)+5800-900(x2+

16

x2

)-5800=900[(x1-x2)+16(

1

x1

-

1

x2

)]=

900(x1-x2)(x1x2-16)

x1x2

∵x₁＜x₂≤a，∴x1-x2＜0，x1x 2＜a2＜16
∴y₁-y₂＞0
∴y=900(x+

16

x

)+5800在(0，a]上是减函数…（10分）
∴当x=a时y有最小值900(a+

16

a

)+5800…（12分）
（此题利用导数相应得分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，正确构建函数是关键，属于基础题．