Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数.

数列{y_n}满足=2(a＞0,且a≠1),设y₃=18, y₆=12.

(1)试问数列{y_n}的前多少项和最大，最大值为多少？

（2）试判断是否存在自然数M，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1)y_n=2log_ax_n,y_n+1=2log_a,

y_n+1-y_n=2(log_ax_n+1-log_ax_n)=2log_a，

∵{x_n}为等比数列，∴为定值.

∴{y_n}为等差数列.

又y₆-y₃=3d=12-18,∴d=-2,

y₁=y₃-2d=22.

∴y_n=y₁+(n-1)d=22+(n-1)×(-2)

=-2n+24(n∈N₊).

∴y_n≥0,即-2n+24≥0，得n≤12.

∵n=12时，y₁₂=0,

∴当n=11或n=12时，S_n取得最大值，且最大值为132.

(2)∵y_n=22+(n-1)(-2)=2log_ax_n,

即12-n=log_ax_n，

∴x_n=a^12-n.又x_n=a^12-n＞1,

当a＞1时，12-n＞0,n＜12;

当0＜a＜1时，12-n＜0,n＞12.

∴当0＜a＜1时，存在M=12.当n＞M时，x_n＞1恒成立.