Question

给出如下的四个命题：
①?x∈(0，

π

2

)，使sinx+cosx=

1

3

；
②当x∈（0，1）时，lnx+

1

lnx

≤-2；
③存在区间（a，b），使得y=cosx是减函数，且sinx＜0；
④函数g（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-

1

a

}．
其中所有正确命题的序号是

 

． （注：把你认为所有真命题的序号都填上）

Answer 1

分析：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了三角函数和对数函数的一些性质，我们可以根据三角函数，对数函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．

解答：解：y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，当x∈(0，

π

2

)时，1≤y≤

2

，故①不正确
当x∈（0，1），lnx≤0，则由基本不等式可得lnx+

1

lnx

≤-2成立，即②正确
若sinx＜0，则x∈（2kπ-π，2kπ），k∈Z，而此时y=cosx是增函数，故③错误
当a＞0时，函数g（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-

1

a

}．
当a=0时，函数g（x）=lg（ax+1）的定义域是R
当a＜0时，函数g（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜-

1

a

}故④错误
故答案为：②

点评：y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)是我们求三角函数值域时，最常用的公式，本题中对x的范围有限制，故要结合自变量的取值范围，进行判断，最后不难得到正确的结论．