Question

（1）已知点A（

3

2

，0）、B（3，0），动点M到A与B的距离比为常数

1

2

，求点M的轨迹方程．
（2）求与圆（x-1）²+y²=1外切，且与直线x+

3

y=0相切于点Q（3，-

3

）的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）利用直译法，将几何条件动点M到A与B的距离比为常数

1

2

，转化为代数方程

(x- 3 2 )2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，从而求得点M的轨迹方程
（2）利用待定系数法，设所求圆方程为（x-a）²+（x-b）²=r²，利用所求圆与圆（x-1）²+y²=1外切，和所求圆与与直线x+

3

y=0相切于点Q（3，-

3

），列方程可解得a、b、r的值

解答：解：（1）解：设M（x，y），
则

(x- 3 2 )2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

              
两边平方整理得：（x-1）²+y²=1     
（2）设所求圆方程为（x-a）²+（x-b）²=r²
依题意有

(1-a)2+b2 =1+r |a+ 3b 2 =r - 3 3 × b+ 3 a-3 =-1

       
∴b=

3

（a-4）代入前两个等式得：

(a-1)2+b2

=1+2|a-3|
（1）当a＞3时，有（a-1）²+3（a-4）²=（2a-5）²
解得a=4，∴b=0，r=2；                                         
（2）当a≤3时，有（a-1）²+3（a-4）²=（7-2a）²
解得a=0，∴b=-4

3

，r=6． 
综上所述：（x-4）²+y²=4；x²+（y+4

3

）²=36

点评：本题考察了直译法求曲线的轨迹方程，待定系数法求圆的标准方程等基础知识，解题时要熟练的将几何条件转化为代数条件，利用分类讨论的方式解决问题