Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-．
（1）求证：函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的范围．
（3）求证：函数f（x）的零点x₁，x₂至少有一个在区间（0，2）内．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件化简函数的解析式，求出函数的判别式，由判别式大于0恒成立得到函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，
将|x₁-x₂|变形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由题意知，式子无最大值．
（3）分c＞0时和c≤0两种情况，判断函数值在区间端点处的函数值的符号，根据函数零点的判定定理
得出结论．
解答：解：（1）证明：∵，∴3a+2b+2c=0，∴．
∴，=（2a+b）²+2a²，
∵a＞0，∴△＞0恒成立，故函数f（x）有两个零点．
（2）若x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根．
∴．
∴．
故|x₁-x₂|的范围是[，+∞）．
（3）根据f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，由（I）知3a+2b+2c=0，∴f（2）=a-c．
（i）当c＞0时，有f（0）＞0，又∵a＞0，∴，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
故在区间（0，2）内至少有一个零点．
（ii）当c≤0时，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=a-c＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，
综合（i）（ii），可知函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的零点就是函数f（x）=0的根；零点的判定方法是，函数在区间
端点的函数值异号，属于中档题．