Question

【题目】如图，过点作直线l交抛物线C：于A，B两点（点A在P，B之间），设点A，B的纵坐标分别为，，过点A作x轴的垂线交直线于点D.

（1）求证：；

（2）求的面积S的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）设直线的方程为，联立方程组，运用韦达定理，化简即可得到证明；

（2）由，求得的范围，点A在P、B之间，可得，求得D的坐标，运用三角形的面积公式和导数，得出函数的单调性和最值，即可求解面积的最大值．

（1）由题意，设直线的方程为，

联立方程组，可得，

所以，则所以．

（2）由（1）可得，解得，

因为点在P，B之间，所以，

所以，

由已知可设点，由点D在直线：上可得，

所以的面积，

因为，所以，

因为，

可得时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

所以当，即时，的面积S的最大值.