Question

【题目】已知函数f（x）= ，其中m，n，k∈R．
（1）若m=n=k=1，求f（x）的单调区间；
（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数m的取值范围；
（3）若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在两个极值点x1、x2 ， 求证： ＜f（x1）+f（x2）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=n=k=1，f′（x）= ，

∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，

∴函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；

（2）解：若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，则m≥0．

m=0，f（x）= ，f′（x）= ≥0，∴f（x）min=f（0）=1；

m＞0，f′（x）= ，

0＜m≤ ，f（x）min=f（0）=1；

m≥ ，f（x）在[0， ]上为减函数，在[ ，+∞）上为增函数，f（x）min＜f（0）=1不成立．

综上所述，0≤m≤ ；

（3）证明：f（x）= ，f′（x）= ．

∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴4m2﹣4m＞0，∴m＞1．

令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2= ，

注意到 （i=1，2），

∴f（x1）= ，f（x2）= ，

∴f（x1）+f（x2）= = （ ）

＞ = = ；

∵ （ ）＜ ＜ ，

∴ ＜f（x1）+f（x2）＜ ．

【解析】（1）若m=n=k=1，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，先确定m≥0，在分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数m的取值范围；（3）令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2= ，再结合基本不等式，即可证明结论．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．