Question

5．已知抛物线C：y²=4x的焦点是F，直线l₁：y=x-1交抛物线于A，B两点，分别从A，B两点向直线l₂：x=-2作垂线，垂足是D，C，则四边形ABCD的周长为$18+4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 方法一：将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，求得丨AB丨，根据抛物线的定义，即可求得丨AD丨+丨BC丨，则丨CD丨=丨BH丨=丨AB丨×sinα，即可求得四边形ABCD的周长；
方法二：根据抛物线焦点弦的二级公式，丨AB丨=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$，根据抛物线的定义，即可求得丨AD丨+丨BC丨，则丨CD丨=丨BH丨=丨AB丨×sinα，即可求得四边形ABCD的周长．

解答 解：方法一：抛物线C：y²=4x的焦点是F（1，0），直线直线l₁：y=x-1故抛物线的焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，整理得：x²-6x+1=0，
x₁+x₂=6，
由丨AB丨=x₁+x₂+p=6+2+8，
由抛物线的定义可知：丨AD丨+丨BC丨=丨AB丨+2=10，
过B作BH⊥AD，
则由直线AB的倾斜角α=$\frac{π}{4}$，
则丨BH丨=丨AB丨×sinα=4$\sqrt{2}$，则丨CD丨=丨BH丨=4$\sqrt{2}$，
四边形ABCD的周长丨AB丨+丨AD丨+丨BC丨+丨CD丨=18+4$\sqrt{2}$，
故答案为：18+4$\sqrt{2}$．
方法二：抛物线C：y²=4x的焦点是F（1，0），直线直线l₁：y=x-1故抛物线的焦点，由直线AB的倾斜角α=$\frac{π}{4}$，
由丨AB丨=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=8，
由抛物线的定义可知：丨AD丨+丨BC丨=丨AB丨+2=10，
则丨BH丨=丨AB丨×sinα=4$\sqrt{2}$，则丨CD丨=丨BH丨=4$\sqrt{2}$，
四边形ABCD的周长丨AB丨+丨AD丨+丨BC丨+丨CD丨=18+4$\sqrt{2}$，
故答案为：18+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线位置关系，考查抛物线的焦点弦公式，抛物线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．