Question

（2011•温州二模）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．已知角A是锐角且cos2B-cos2A=2sin（

π

3

+B）sin（

π

3

-B）
（I ）求角A的大小：
（II）试确定满足条件a=2

2

，b=3的△ABC的个数．

Answer 1

分析：（I）把已知等式的左边第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，并利用平方差公式变形，整理后再利用同角三角函数的基本关系变形，可求出cos2A的值，由A的范围，得到2A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（II）由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，再由a小于b，利用三角形的边角关系得到A小于B，得到满足sinB值的角B有两个解，则满足条件的三角形ABC的个数为2．

解答：解：（I）∵cos2B-cos2A=2sin（

π

3

+B）sin（

π

3

-B），
且cos2B-cos2A=2cos²B-1-cos2A，
2sin（

π

3

+B）sin（

π

3

-B）=2（

3

2

cosB+

1

2

sinB）（

3

2

cosB-

1

2

sinB）
=2（

3

4

cos²B-

1

4

sin²B）=

3

2

cos²B-

1

2

sin²B，
∴2cos²B-1-cos2A=

3

2

cos²B-

1

2

sin²B，
整理得cos2A=

1

2

（cos²B+sin²B）-1=-

1

2

，
∵A为锐角，∴2A∈（0，π），
∴2A=

2π

3

，
∴A=

π

3

；
（II）∵a=2

2

，b=3，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

3× 3 2

2 2

=

3 6

8

，
∵a＜b，∴A＜B，
∴角B为锐角或钝角，
则满足条件的△ABC有两个．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．