Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的单调性；

（2）若在区间上有零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）.

【解析】

（1）求出导函数，分别令，解不等式即可求解.

（2）求出函数的导函数，分类讨论的取值范围，讨论函数的单调性；当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减，通过单调性求出函数的最值，进而可确定是否存在零点.

（1）因为，所以，所以.

令，得或；

令，得.

故的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（2）由函数，则

当时，在区间上单调递增，

则，，解得；

当时，即时，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，且

则，解得；

当时，即时，在区间上单调递减，

因为，所以在区间上不存在零点，即，不符合题意.

综上，的取值范围是.