Question

△ABC中
（1）已知2B=A+C，b=1，求a+c的范围
（2）已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，且sinB+sinC=1，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）由三角形内角和定理，以及2B=A+C，求出B的度数，由b的值，利用正弦定理求出R，原式利用正弦定理化简，用A表示出C，再利用和差化积公式变形为一个角的余弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用余弦函数的值域确定出范围即可；
（2）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到关系式，代入由余弦定理表示出cosA中求出值，进而确定出A的度数，再由B表示出C，代入sinB+sinC=1中求出B的度数，即可确定出三角形的形状．

解答：解：（1）∵△ABC中，2B=A+C，
∴A+B+C=π，即B=

π

3

，
∵b=1，∴由正弦定理得：2R=

b

sinB

=

1

3 2

=

2 3

3

，
∵A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
∴a+c=2RsinA+2RsinC=2R（sinA+sinC）=

4 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]=

4 3

3

2sin

π

3

cos（A-

π

3

）=4cos（A-

π

3

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

3

＜A-

π

3

＜

π

3

，
∴

1

2

＜cos（A-

π

3

）＜1，即2＜4cos（A-

π

3

）＜4，
则a+c的范围是（2，4）；
（2）已知等式利用正弦定理化简得：2a²=b（2b+c）+c（2c+b），即b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

-bc

2bc

=-

1

2

，
∵A为三角形内角，∴A=120°，即B+C=60°，
∴sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=2sin30°cos（B-30°）=cos（B-30°）=1，
∴B-30°=0，即B=30°，
则△ABC为等腰三角形．

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦定理，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．