Question

函数f(x)=Asin(ωx+?) (A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间x∈[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图可得A=1，一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，得最小正周期T，进而得ω，代入最高点坐标求φ，得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，代入求出g（x）的解析式，用两角和的正弦公式把式中的第一项展开，合并，再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值，由x的范围，得到2x-

π

6

的范围，由正弦函数的图象得到sin（2x-

π

6

）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由图可得A=1，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，所以T=π．（2分）
所以ω=2．
当x=

π

6

时，f（x）=1，可得sin(2•

π

6

+φ)=1，
因为|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．（5分）
所以f（x）的解析式为f(x)=sin(2x+

π

6

)．（6分）
（Ⅱ）g(x)=f(x)-cos2x=sin(2x+

π

6

)-cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．（10分）
因为0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，g（x）有最大值，最大值为1；
当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，g（x）有最小值，最小值为-

1

2

．（13分）

点评：给出条件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin（ωx+φ）的范围，结合正弦函数图象求出最值．