Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2

2

，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点．
（I）证明：CD⊥平面SAE；
（II）求侧面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值．

Answer 1

分析：（I）连接AC，结合已知条件，可在菱形ABCD中证出CD⊥AE．再在△SAB、△SAD中利用勾股定理的逆定理，证出SA⊥AB和
SA⊥AD，结合线面垂直的判定定理得到SA⊥平面ABCD，从而SA⊥CD．最后结合CD⊥AE，AE、SA是平面SAE内的相交直线，可得CD⊥平面SAE；
（II）取BC的中点F，连接AF、SF，可证出AF⊥BC且SF⊥BC，所以∠SFA为二面角S-BC-A的平面角．最后在Rt△ASF中，利用正切的定义得到tan∠SFA=

SA

AF

=

2 3

3

，即得侧面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值．

解答：解：（I）如图，连接AC
∵在菱形ABCD中，∠ADC=60°，E是线段CD的中点
∴CD⊥AE
又∵SA=AB=2，SB=2

2

∴SA²+AB²=8=SB²，可得SA⊥AB．同理得到SA⊥AD
∵AB、AD是平面ABCD内的相交直线
∴SA⊥平面ABCD
又∵CD?平面ABCD，∴SA⊥CD
∵CD⊥AE，AE、SA是平面SAE内的相交直线
∴CD⊥平面SAE
（II）取BC的中点F，连接AF、SF
由（I）的证明过程，类似地可得AF⊥BC且SF⊥BC
∴∠SFA为二面角S-BC-A的平面角
∵Rt△ASF中，AF=

3

，SA=2
∴tan∠SFA=

SA

AF

=

2 3

3

即侧面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值为

2 3

3

．

点评：本题给出底面为菱形、一条侧棱垂直于底的四棱锥，要我们证明线面垂直并求二面角的正切值，着重考查了线面垂直的判定与性质和平面与平面所成角等知识点，属于中档题．