Question

已知f（x）=2sin(x-

π

12

)-

3

，现将f（x）的图象向左平移

π

4

个单位长度，再向上平移

3

个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（1）求f（

π

4

）+g（

π

6

）的值；
（2）若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g（x）取得最大值，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得函数g（x）=2sin（x+

π

6

），由此求得f（

π

4

）+g（

π

6

）=2sin

π

6

-

3

+2sin

π

3

 的值．
（2）△ABC中，由g（B）=2sin（B+

π

6

）取得最大值，可得 B=

π

3

．由 a+c=4≥2

ac

，可得ac≤4，b＜4．再由余弦定理求得 b²=16-3ac≥4，可得
b≥2．综上可得b的取值范围．

解答：解：（1）由于f（x）=2sin(x-

π

12

)-

3

，现将f（x）的图象向左平移

π

4

个单位长度，得到函数y=2sin（x+

π

4

-

π

12

）-

3

=2sin（x+

π

6

）-

3

的图象；
再向上平移

3

个单位长度，可得函数g（x）=2sin（x+

π

6

） 的图象，
故有 f（

π

4

）+g（

π

6

）=2sin

π

6

-

3

+2sin

π

3

=1．
（2）△ABC中，a+c=4，且当x=B时，g（x）=g（B）=2sin（B+

π

6

）取得最大值，∴B=

π

3

．

∵a+c=4≥2

ac

，∴ac≤4，b＜4．
再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac=16-3ac≥16-12=4，∴b≥2．
综上可得，2≤b＜4，即b的取值范围为[2，4）．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．