Question

【题目】数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.

(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果,且,,那么;

(2)请你运用上述对数运算性质计算的值;

(3)因为,所以的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断的位数.(注)

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) (3)的位数为6677

【解析】

(1)根据指数与对数的转换证明即可.

(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.

(3)分析的值的范围再判断位数即可.

(1)方法一:

设

所以

所以

所以,得证.

方法二:

设

所以

所以

所以

所以

所以

方法三:

因为

所以

所以得证.

(2)方法一:

.

方法二:

.

(3)方法一:

设,

所以

所以

所以

所以

因为

所以

所以的位数为6677

方法二:

设

所以

所以

所以

所以

因为,

所以有6677位数,即的位数为6677