Question

【题目】已知点O为坐标原点，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0

【解析】

(1)由直角三角形中线性质得到，再根据条件得到求解即可；（2）设出直线AB，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到，整理得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0，代入韦达定理即可.

（1）由题意得△IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以．

设椭圆C的半焦距为c，则

解得

所以椭圆C的标准方程为．

（2）由题知，点F1的坐标为（－1，0），显然直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y＝k（x＋2）（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立消去y，得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0，

所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）

且，．

因为AF1⊥BF1，所以，

则（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0，

1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0，

1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0，

整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0．

即．

化简得4k2－1＝0，解得．

因为都满足（*）式，所以直线AB的方程为或．

即直线AB的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0．