Question

倾斜角为

π

4

的直线交椭圆

x2

4

+y2=1于A，B两点，则线段AB中点的轨迹方程是

 

．

Answer 1

分析：设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设条件知y₁-y₂=x₁-x₂．由中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y所以直线方程为x+4y=0，由此可知点M的轨迹方程为x+4y=0（-455＜x＜455）．

解答：解：设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有

x12

4

+y12=1，①

x22

4

+y22=1，②
①-②得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．③
又直线AB的斜率k=tan

π

4

=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴y₁-y₂=x₁-x₂．④
由中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．⑤
把④⑤代入到③中得x=-4y，
∴直线方程为x+4y=0，
由

x2

4

+y2=1，x+4y=0，
得x₁=-

4 5

5

，x₂=

4 5

5

．
∴点M的轨迹方程为x+4y=0（-

4 5

5

＜x＜

4 5

5

）．
答案：x+4y=0（-

4 5

5

＜x＜

4 5

5

）

点评：本题考查轨迹的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答．