Question

已知直线l⊥平面α，O为垂足，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=5，AB=6，AA₁=8，A∈l，B₁∈α，则OC₁的最大值为

5+5

2

．

Answer 1

分析：按题意：直线AO垂直于直线B₁O，三角形为AOB₁为直角三角形，O点在以|AB₁|为直径的球面上；设球面中心点为P，则点P位于线段|AB₁|的中点；此时答案变为求球外一点至球面上一点的距离；按题意：存在直角三角形C₁B₁P，线段|C₁P|为斜边（点C₁至球心P的距离）；此时：存在任意三角形C₁PO，其中线段|C₁P|为C₁点至球心P的距离、线段|PO|为球面半径，线段|C₁O|的长度是我们要的答案．

解答：解：∵直线AO（即l）垂直于α，直线B₁O?α，
∴三角形AOB₁为直角三角形，
∴O点在以|AB₁|为直径的球面上；设球面中心点为P，则点P位于线段|AB₁|的中点；
又长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|AD|=5，|AB|=6，|AA₁|=8，
∴|AB₁|=10，|OP|=

|AB1|

2

=5，
此时所求变为求球外一点至球面上一点的距离；显然当C₁，P，O三点共线时|C₁O|最大，
∵在直角三角形C₁B₁P，线段|C₁P|为斜边（点C₁至球心P的距离），
∴|C1P| =5

2

，
∴|C₁O|_max=|C₁P|+|OP|=5

2

+5．
故答案为：5

2

+5．

点评：本题考查函数的值域，难点在于转化为球外一点至球面上一点的距离，显然最大时必过球心，是难题．