Question

【题目】已知函数．

（1）求曲线在原点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间及最大值；

（3）证明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）的递增区间为，递减区间为，函数最大值是（3）详见解析

【解析】

（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k＝f'（0）＝0，据此分析可得答案；

（2）根据题意，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系分析函数的单调区间，据此分析可得函数的最大值；

（3）根据题意，由（2）的结论可得ln（x+1）≤x2+x，分别令x＝1、、，可得ln2，lnln3﹣ln2，lnln4﹣ln3；将这些式子相加即可得的答案．

（1）所求切线的斜率

从而曲线在原点处的切线方程为

（2）

由得；由得

的递增区间为，递减区间为，函数最大值是

（3）由（2）可知：仅当时取等号别取得

以上不等式两边相加即得所证不等式