Question

已知函数，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间；
（3）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围

Answer 1

（1）偶函数；（2）,；（3） 

试题分析：(1)判断奇偶性，需先分析函数的定义域要关于原点对称，然后分析解析式与的关系可得；(2)根据偶函数在对称区间上的单调性相反，所以可以考虑先分析时的单调性，于是在时利用导数分析函数的单调性，然后再分析对称区间上的单调性；（3）把方程的根转化为函数的零点，然后利用导数分析函数的最值，保证函数图形与的交点的存在
试题解析：（1）函数的定义域为且关于坐标原点对称      1分
为偶函数                4分
（2）当时，               5分
令
令
                             6分
所以可知：当时，单调递减，
当时，单调递增，          7分
又因为是偶函数，所以在对称区间上单调性相反，所以可得：
当时，单调递增，
当时，单调递减，          8分
综上可得：的递增区间是:,；
的递减区间是: ,                           10分
（3）由，即,显然,
可得：令，当时, 
           12分
显然，当时，,单调递减，
当时，,单调递增，
时,             14分 
又，所以可得为奇函数，所以图像关于坐标原点对称
所以可得:当时，           16分 
∴的值域为 ∴的取值范围是      16分