Question

已知函数f（x）=x³-2x²-4x-7，其导函数为f′（x）．
①f（x）的单调减区间是(

2

3

，2)；
②f（x）的极小值是-15；
③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函数f（x）满足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0
其中假命题的个数为（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：由f（x）=x³-2x²-4x-7，知f′（x）=3x²-4x-4，令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x 1=-

2

3

，x₂=2．列表讨论，知①错误，②正确；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正确；由f（x）=x³-2x²-4x-7，知函数f（x）不满足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0，故④不正确．

解答：解：∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴f′（x）=3x²-4x-4，
令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x 1=-

2

3

，x₂=2．
列表讨论

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	-	0	+
f（x）	↓		↓	极小值	↑

∴减区间为（-∞，2]，增区间为[2，+∞），
当x=2时，函数有极小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①错误，②正确；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x³-2x²-4x-a³+2a²+4a-（3a²-4a-4）（x-a）
=x³+2a³-2x²-2a²-3a²x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正确；
∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴函数f（x）不满足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0，
故④不正确，
故选C．

点评：本题考查函数的单调区间、极值的求法，考查不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．