Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为- ．
（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；
（2）过 的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设P（x，y），由题意可得kPDkPE=﹣ ，

即有 =﹣ ，

化为 =1

（2）解：设过F的直线为x=my+ ，

代入椭圆方程x2+2y2=4，

可得（2+m2）y2+2 my﹣2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

即有y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

x1=my1+ ，x2=my2+ ，

由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，

解得M（﹣ ， ），N（ ，﹣ ），

可得kAM+kBN= + ，

通分后的分子=x2y1﹣ x2﹣ y1+x1y2+ x1+ y2+

=2my1y2+ （1+y2）+ （x1﹣x2）+ （y2﹣y1）+

=﹣ ﹣ + （y1﹣y2）+ （y2﹣y1）+ =0．

即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．

【解析】（1）设P（x，y），由题意可得kPDkPE=﹣ ，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+ ，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．