Question

设函数．
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)关于的方程f(x)=a在区间上有两个根,求a的取值范围．

Answer 1

(1) 当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值．   (2) 或

解析试题分析：(1) 先对原函数求导，然后列表求出单调区间和极值即可; (2) 关于的方程f(x)=a在区间上有三个根,即函数y=a与y=f（x）的图象在区间上有三个交点，只需要函数y=" f(x)" 和函数y="a" 的图像有两个交点．根据函数单调性变化情况，可求得实数a的范围．
(1) ,由得          (2分)

x		0		3
f’(x)	-	0	+	0	-
f(x)	↘	极小值-1	↗	极大值	↘

 
由上表得, f(x)的单调增区间为,单调减区间为,;
当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时, f(x)有极大值．          (6分)
(2)由题知,只需要函数y=" f(x)" 和函数y="a" 的图像有两个交点．        (7分)
 ,所以
由(1)知f(x)在,当上单调递减,上单调递增,在在上单调递减．     (10分)
∴当或 时, y=" f(x)" 和y="a" 的图像有两个交点．即方程f(x)=a在区间上有两个根．                (12分)
考点：函数的单调区间和极值;函数图像的交点与方程的根的对应关系．